YuSharing: Bilangan Aritmatika

Deret

Deret : Sederhana saja, deret adalah daftar/barisan bilangan.
Definisi : Setiap bilangan pada deret disebut sebagai suku/elemen/term. Dilambangkan dengan $U$ .

Deret Aritmatika

Definisi : Deret/barisan bilangan aritmatika adalah sekumpulan bilangan yang disusun sedemikian rupa sehingga jarak/selisih/difference antara setiap suku dengan suku berikutnya selalu tetap (konstan).
Definisi: Setiap bilangan pada deret disebut sebagai suku/element/term
Selanjutnya, jika setiap suku pada deret diberi index, maka deret dapat dituliskan sebagai berikut :
$U_1,U_2,U_3,...,U_n$ .
Contoh-contoh deret aritmatika :

$1,3,5,7,10$ . Deret aritmatika terhingga (finite), yaitu jumlahnya terbatas. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 2.

$1,2,3,4,5,6$ . Deret aritmatika terhingga. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 1.

$1,2,3,4,5,6,...$ . Deret aritmatika tak terhingga (infinite), yaitu jumlahnya tidak terbatas. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 1.

$3,2,1,0,-1,-2$ . Deret aritmatika terhingga. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah -1.

$4,1,-2,-5,-8,-11,...$ . Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah 4 dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah -3.

$0,2.5,5,7.5,10,12.5,...$ . Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah 0 dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 2.5

$\frac{5}{7},\frac{6}{7},\frac{7}{7},\frac{8}{7},\frac{9}{7},\frac{10}{7},...$ . Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah $\frac{5}{7}$ dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah $\frac{1}{7}$

$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d,...$ . Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah $a$ dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah $d$ .

$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d,...,a+(n-1)d$ . Deret aritmatika terhingga. Suku pertamanya adalah $a$ dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah $d$ .

Perhatikan baik-baik contoh terakhir.
Di dalam matematika, barisan bilangan seringkali dinyatakan dengan $U_1,U_2,U_3,...,U_n$ dimana $U_1=a$ , $U_2=a+d$ , $U_3=a+2d$ , … dan $U_n=a+(n-1)d$ . Notasi ini dalam matematika bermakna :
Suku pertama ( $U_1$ ) adalah $a$ dan suku ke-n ( $U_n$ ) adalah $a+(n-1)d$ dimana $d$ adalah jarak/selisih antara suatu suku dengan suku berikutnya, yakni jarak antara $U_m$ dengan $U_{m+1}$ dimana $1\leq m\leq n$ . Blog mengikuti notasi ini.
Definisi formalnya :
$\begin{array}{llll}U_1&=&a&U_1\text{ adalah suku ke-1}\\U_n&=&a+(n-1)d&U_n\text{ adalah suku ke-n, dengan }n\text{ adalah sembarang bilangan yang memenuhi }n>1\text{ dan }n\in\mathbb{Z}\\d&=&U_{m+1}-U_{m}&d\text{ adalah jarak antara suku ke-m (}U_m\text{) dengan suku berikutnya (}U_{m+1}\text{), dengan }m\text{ adalah sembarang bilangan yang memenuhi }m>1\text{ dan }m\in\mathbb{Z}\end{array}$
Contoh barisan aritmatika yang lain :

Deret bilangan cacah $\mathbb{N}_0$ : 0, 1, 2, 3, 4, 5 …
Tak terhingga dengan $d=1$ , $U_1=0$ dan $U_n=n-1$

Deret bilangan asli $\mathbb{N}_1$ : 1, 2, 3, 4, 5, 6 …
Tak terhingga dengan $d=1$ , $U_1=1$ dan $U_n=n$ .

Deret bilangan genap : 0, 2, 4, 6, 8, 10,…
Tak terhingga dengan $d=2$ , $U_1=0$ dan $U_n=2.(n-1)$

Deret bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ….
Tak terhingga dengan $d=2$ , $U_1=1$ dan $U_n=2n-1$

Deret bilangan kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 … 2n
Terhingga dengan $d=2$ , $U_1=2$ dan $U_n=2n$

Deret bilangan kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 … 3n
Terhingga dengan $d=3$ , $U_1=3$ dan $U_n=3n$

Deret bilangan kelipatan 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 … 3(n-1)
Terhingga dengan $d=3$ , $U_1=0$ dan $U_n=3(n-1)$

Sifat-sifat Deret Aritmatik

Perhatikan aljabar di bawah ini :
$\begin{array}{lllrclrr}&&U_m&=&U_1&+&(m-1)d\\&&U_n&=&U_1&+&(n-1)d\\-&-&-&-&----&-&----&-\\U_m&-&U_n&=&(m-1)d&-&(n-1)d\\U_m&-&U_n&=&(m-n)d\\&&U_m&=&U_n&+&(m-n)d\end{array}$
Kita peroleh sifat pertama dari deret aritmatika, yaitu $U_m=U_n+(m-n)d$ .
Penjabaran yang lain :
$\begin{array}{rllrrllr}&&U_m&=&U_1&+&(m-1)d\\&&U_{m+2n}&=&U_1&+&(m+2n-1)d\\--&-&---&-&--&-&------------&+\\U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_1&+&(m-1)d+(m+2n-1)d\\U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_1&+&(2m+2n-2)d\\U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_1&+&2.(m+n-1)d\end{array}$
Mengingat
$\begin{array}{rlrlr}U_{m+n}&=&U_1&+&(m+n-1)d\\2.U_{m+n}&=&2.U_1&+&2.(m+n-1)d\end{array}$
Maka bisa disimpulkan sifat kedua dari deret aritmatika, yaitu $U_m+U_{m+2n}=2.U_{m+n}$
Sifat kedua inilah yang nantinya akan menjadi dasar teori untuk rataan aritmatik (Arithmetic Mean). Sebagai gambaran saja, sifat kedua ini dapat dituliskan menjadi $\frac{U_m+U_{m+2n}}{2}=U_{m+n}$ yang dapat diterjemahkan secara statistik : “nilai rata-rata dari $U_m$ dan $U_{m+2n}$ adalah $U_{m+n}$ “.

Jumlah Semua Suku Pada Deret

Alkisah, Carl Friedrich Gauss, salah satu matematikawan terbaik dan yang paling berpengaruh sepanjang masa, menemukan metode untuk menghitung nilai dari $1+2+3+4+...+100$ ketika beliau masih berusia 10 tahun. Metode yang diperkenalkan oleh Gauss di usia belia itu masih belum tergantikan hingga saat ini. Untuk menghormati jasa beliau, metode ini dinamai metode Gaussian.
Metode Gaussian adalah sebagai berikut :
$\begin{array}{llllrlrlrlrlrlrlrlrlrr}&&total&=&1&+&2&+&3&+&4&+&...&+&97&+&98&+&99&+&100\\&&total&=&100&+&99&+&98&+&97&+&...&+&4&+&3&+&2&+&1\\-&-&---&=&---&-&--&-&--&-&--&-&-&-&--&-&--&-&--&-&--&+\\2&.&total&=&101&+&101&+&101&+&101&+&...&+&101&+&101&+&101&+&101\\2&.&total&=&100&.&101\\&&total&=&\frac{100.101}{2}\\&&total&=&5050\end{array}$
Lantas, bagaimana caranya menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik?
Untuk menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik, kita akan meminjam metode Gaussian ini sebentar :
$\begin{array}{llllrlrlrlrlrlrlrlrlrr}&&S_n&=&a&+&a+d&+&a+2d&+&a+3d&+&...&+&a+(n-4)d&+&a+(n-3)d&+&a+(n-2)d&+&a+(n-1)d\\&&S_n&=&a+(n-1)d&+&a+(n-2)d&+&a+(n-3)d&+&a+(n-2)d&+&...&+&a+3d&+&a+2d&+&a+d&+&a\\-&-&-&=&--------&-&--------&-&--------&-&--------&-&-&-&--------&-&--------&-&--------&-&--------&+\\2&.&S_n&=&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&...&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d\\2&.&S_n&=&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&...&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n\\2&.&S_n&=&n.(U_1+U_n)\\&&S_n&=&\frac{n.(U_1+U_n)}{2}\end{array}$
Dengan demikian kita peroleh rumus untuk menghitung total nilai seluruh suku pada deret aritmatika, yaitu $S_n=\frac{n.(U_1+U_n)}{2}$ . Dimana :
$S_n$ menyimbolkan jumlah (sum) dari suku-suku pada deret.
$U_1$ menyimbolkan suku pertama pada deret.
$U_n$ menyimbolkan suku terakhir pada deret.
$n$ menyimbolkan banyaknya suku pada deret.
Karena deret aritmatika berbentuk $U_1,U_2,U_3,...,U_{n-2},U_{n-1},U_n$ maka kita boleh saja meng-asumsikan bahwa ada suku $U_m$ yang letaknya berada di rentang $U_1\leq U_m\leq U_n$ (well-order principle) sehingga deret aritmatika dapat dituliskan sebagai $U_1,U_2,U_3,...,U_m,U_{m+1},U_{m+2},....,U_{n-2},U_{n-1},U_n$ .
Sekarang jika kita pandang secara parsial (sebagian), yakni deret kita mulai dari suku ke-m, maka kita memperoleh deret baru, yaitu $U_m,U_{m+1},U_{m+2},....,U_{n-2},U_{n-1},U_n$ .
Ada berapa banyak suku pada deret ini?
Sebelumnya, deret memiliki $n$ suku. Tetapi karena kita hanya mengambil sepotong saja dari deret tersebut, artinya ada sebagian suku yang kita tinggalkan. Banyaknya suku yang kita tinggalkan adalah $m-1$ suku. Dan dengan demikian banyaknya suku yang kita “pakai” adalah $n-(m-1)$ suku, yaitu $n-m+1$ suku.
Berapa jumlah nilai suku-suku pada deret baru ini?
Suku pertama pada deret ini adalah $U_m$ dan suku terakhir adalah $U_n$ . Banyaknya suku ada $n-m+1$ buah. Sesuai dengan rumus yang tadi kita peroleh, jumlah nilai suku-suku pada deret ini adalah $S_{n-m+1}=\frac{(n-m+1).(U_m+U_n)}{2}$
Rumus ini adalah rumus umum untuk mencari jumlah nilai suku-suku pada deret. Baik secara parsial ataupun secara utuh. Jika ingin menghitung secara utuh, gunakan $m=1$ .
Einstein's First Equation

Rataan Aritmatika

Sesuai dengan judulnya, rataan aritmatika (Arithmetic Mean/AM) adalah nilai rata-rata pada barisan aritmatika. Baik secara parsial ataupun secara utuh.
Sebagai contoh :

Nilai rata-rata dari deret $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ adalah $\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10}=\frac{55}{10}=5.5$
Nilai rata-rata dari deret $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ adalah $\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9}=\frac{45}{9}=5$
Nilai rata-rata dari deret $3,4,5,6,7,8,9$ adalah $\frac{3+4+5+6+7+8+9}{7}=\frac{42}{7}=6$
Nilai rata-rata dari deret $1,2,3,4,5,6,7$ adalah $\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=\frac{28}{7}=4$
Nilai rata-rata dari deret $1,2,3,4$ adalah $\frac{1+2+3+4}{4}=\frac{10}{4}=2.5$
Nilai rata-rata dari deret $1,2,3$ adalah $\frac{1+2+3}{3}=\frac{6}{3}=2$
Nilai rata-rata dari deret $1,3$ adalah $\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$
Nilai rata-rata dari deret $2$ adalah $\frac{2}{1}=2$

Apakah ada pola yang menarik?
Ada. Ternyata nilai rata-rata pada berbagai deret aritmatik di atas sangat dekat atau bahkan persis dengan nilai tengah (median) dari deret tersebut.
Secara umum, rataan aritmatika dirumuskan sebagai berikut :
$AM=\frac{U_1+U_2+U_3+...+U_n}{n}$
Jika kita ambil kasus sederhana yaitu deret dengan tiga buah suku $U_1,U_2,U_3$ , maka $AM=\frac{U_1+U_2+U_3}{3}$ .
Akan tetapi, ilmu barisan bilangan tidak berhenti sampai disitu saja. Perhatikan penjabaran berikut ini :
$\begin{array}{llllclclc}3&.&AM&=&U_1&+&U_2&+&U_3\\3&.&AM&=&a&+&a+d&+&a+2d\\3&.&AM&=&3a+3d\\&&AM&=&a+d\\&&AM&=&a+(2-1)d\\&&AM&=&U_2\end{array}$
Hal ini menarik perhatian kita karena secara langsung penjabaran di atas menyatakan bahwa $AM=\frac{U_1+U_2+U_3}{3}=U_2$
Ingat bahwa di bagian atas dari artikel ini kita telah membahas sifat kedua dari barisan aritmatika, yaitu $U_m+U_{m+2n}=2.U_{m+n}$ . Dengan mengambil $m=1$ dan $n=1$ kita peroleh :
$\begin{array}{lllll}U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_{m+n}\\U_1&+&U_{1+2.1}&=&2.U_{1+1}\\U_1&+&U_3&=&2.U_2\end{array}$
Atau dengan menuliskan ke dalam bentuk lain kita peroleh $\frac{U_1+U_3}{2}=U_2$ .
Apa yang sebenarnya terjadi? Mengapa rataan dari tiga buah suku dan dua buah suku menghasilkan hasil yang sama?
Mari kita bahas perlahan-lahan.
Misalkan $k=m$ dan $l=m+2n$ . Maka $\frac{k+l}{2}=m+n$ .
Seperti yang sudah kita ketahui melalui sifat kedua dari barisan aritmatik, $U_k$ dan $U_l$ akan memiliki nilai rata-rata yang sama dengan $U_{\frac{k+l}{2}}$ , yaitu suku yang berada di tengah-tengah mereka. Hal ini berlaku umum untuk setiap suku pada barisan aritmatik.
Bagaimana jika $k+l$ tidak habis dibagi 2?
Jika $k+l$ tidak habis dibagi 2, maka suku ke- $\frac{k+l}{2}$ adalah suku fiktif. Walaupun demikian, konsepnya tidak berubah. Suku fiktif ini secara logis akan berada di tengah-tengah dari $U_k$ dan $U_l$ .
Dengan demikian, fenomena di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :
$\begin{array}{llllllll}&&U_1&+&U_3&=&2.U_2&\text{Rata-rata dari }U_1\text{ dan }U_3\text{ adalah }U_2\\&&&&U_2&=&U_2&\text{Tambahkan dengan }U_2\\-&-&-&-&-&-&---&+\\U_1&+&U_2&+&U_3&=&3.U_2\end{array}$
Terlihat jelas bahwa nilai rata-rata dari $U_1$ , $U_2$ dan $U_3$ adalah $\frac{U_1+U_2+U_3}{3}=U_2$ lagi.
Mari kita perbesar kasusnya dengan mencari rata-rata dari $U_1,U_2,U_3,U_4,U_5$ :
$\begin{array}{llllllllllll}&&&&&&U_1&+&U_5&=&2.U_3&\text{Rata-rata dari }U_1\text{ dan }U_5\text{ adalah }U_3\\&&&&&&U_2&+&U_4&=&2.U_3&\text{Rata-rata dari }U_2\text{ dan }U_4\text{ adalah }U_3\\&&&&&&&&U_3&=&U_3&\text{Tambahkan dengan }U_3\\-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&---&+\\U_1&+&U_2&+&U_3&+&U_4&+&U_5&=&5.U_3\end{array}$
Nilai-rata-rata dari $U_1,U_2,U_3,U_4,U_5$ adalah $\frac{U_1+U_2+U_3+U+4+U_5}{5}=U_3$ , yaitu suku tengah (median) pada deret.
Mari kita lihat kasus parsial dengan mencari rata-rata dari $U_4,U_5,U_6,U_7,U_8$ :
$\begin{array}{llllllllllll}&&&&&&U_4&+&U_8&=&2.U_6&\text{Rata-rata dari }U_4\text{ dan }U_8\text{ adalah }U_6\\&&&&&&U_5&+&U_7&=&2.U_6&\text{Rata-rata dari }U_5\text{ dan }U_7\text{ adalah }U_6\\&&&&&&&&U_6&=&U_6&\text{Tambahkan dengan }U_6\\-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&---&+\\U_4&+&U_5&+&U_6&+&U_7&+&U_8&=&5.U_6\end{array}$
Nilai-rata-rata dari $U_4,U_5,U_6,U_7,U_8$ adalah $\frac{U_4+U_5+U_6+U+7+U_8}{5}=U_6$ , yaitu suku tengah (median) pada deret.
Secara umum, bisa disimpulkan bahwa deret $U_1,U_2,U_3,...,U_n$ akan memiliki nilai rata-rata yang sama dengan nilai rata-rata dari $U_1,U_n$ , yaitu $AM=\frac{U_1+U_n}{2}$ .
Atau, untuk kasus parsial seperti deret $U_m,U_{m+1},U_{m+2},...,U_n$ , akan memiliki nilai rata-rata yang sama dengan nilai rata-rata dari $U_m,U_n$ , yaitu $AM=\frac{U_m+U_n}{2}$ .
Sifat ini amat sangat membantu kita untuk mencari nilai rata-rata dari sebuah deret aritmatika. Karena tidak perduli berapa banyaknya suku pada deret, kita dapat dengan mudah mencari nilai rata-rata dengan menghitung rata-rata dari dua buah suku saja. Yaitu rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir. Atau secara parsial, suku ke-m dan suku ke-n.
Computer Holy Wars

Obat Ngantuk

Dengan mengambil rentang ,
1. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 2 di rentang tersebut?
2. Berapa jumlah bilangan kelipatan 2 di rentang tersebut?
3. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 3 di rentang tersebut?
4. Berapa jumlah bilangan kelipatan 3 di rentang tersebut?
Dengan mengambil rentang ,
1. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 2 atau 3 di rentang tersebut?
2. Berapa jumlah bilangan kelipatan 2 atau 3 di rentang tersebut?
3. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 3 atau 5 di rentang tersebut?
4. Berapa jumlah bilangan kelipatan 3 atau 5 di rentang tersebut?
Konsep
1. Barisan bilangan fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….
  Apakah barisan bilangan fibonacci merupakan barisan bilangan aritmatika atau bukan? Jelaskan jawaban anda.
2. Barisan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
  Apakah barisan bilangan prima adalah barisan bilangan aritmatika atau bukan? Jelaskan jawaban anda.
Carilah rumus suku ke-n () pada barisan-barisan bilangan di bawah ini dan jelaskan mengapa mereka bukan barisan bilangan aritmatika. Pembahasan ada di sini.
1. Barisan pertama : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ….
2. Barisan kedua : 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, …
3. Barisan ketiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ….
4. Barisan keempat : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …
Misalkan $U_1,U_2,U_3,...,U_k$ adalah sebuah barisan bilangan aritmatik.
Diketahui $U_4+U_7+U_{10}=17$ dan $U_4+U_5+U_6+...+U_{12}+U_{13}+U_{14}=77$
Carilah nilai $k$ dimana $U_k=13$ (American High School Mathematics Examination). Pembahasan ada di sini.
Hitunglah nilai dari $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}+\frac{1}{99.100}$ . Pembahasan ada di sini.
Untuk $T\in\mathbb{R}$ , diketahui tiga buah suku pertama pada barisan aritmatik adalah $2T$ , $5T-1$ dan $6T+2$ . Berapakah nilai suku ke-4? Pembahasan ada di sini.
Diketahui $\frac{b+c-a}{a}$ , $\frac{c+a-b}{b}$ dan $\frac{a+b-c}{c}$ adalah tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik. Pembahasan ada di sini.
Buktikan bahwa $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ dan $\frac{1}{c}$ juga merupakan tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik (tidak harus barisan yang sama). Pembahasan ada di sini.
Ada berapa banyak nilai $n$ sedemikian rupa sehingga $1+2+3+4+...+n$ habis membagi $6n$ . (American Mathematics Competition $12^{th}$ grade). Pembahasan ada di sini.
Dalam sebuah barisan aritmatika $U_1,U_2,U_3...$ , diketahui $U_8=2001$ . Jika jarak antar suku satu dengan suku yang lain ( $d$ ) adalah sebuah bilangan bulat, berapa nilai minimum $d$ agar $U_{17}>10000$ ? (Introduction to Algebra). Pembahasan ada di sini.
Hitunglah nilai dari $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{5050}$ . Pembahasan ada di sini.
Dalam sebuah deret aritmatika, diketahui fakta-fakta berikut :
1. $U_1+U_2+U_3+...+U_{100}=100$
2. $U_{101}+U_{102}+U_{103}+...+U_{200}=200$
3. Berapakah nilai dari $U_1$ ? Pembahasan ada di sini.
Diketahui bahwa : (Pembahasan ada di sini)
1. Setiap serangga tampan membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga bodoh.
2. Setiap serangga buruk rupa membelah diri menjadi dua ekor serangga tampan.
3. Setiap serangga bodoh membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga tampan.
4. Serangga hanya membelah diri ketika dia mati.
5. Masa hidup setiap serangga (tidak perduli jenisnya) adalah sama.
6. Pada awalnya hanya ada seekor serangga tampan (origin of species). Serangga ini disebut sebagai serangga generasi pertama. Berapa jumlah
  1. Total seluruh serangga generasi ke-5?
  2. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-5?
  3. Total seluruh serangga generasi ke-n?
  4. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-n?